반도체 물성 및 소자 - 2. 기초 양자역학

- 양자역학의 3가지 기본원리 -

 

1. 에너지 양자화 원리 : (빛) 에너지를 불연속적인 덩어리 (입자)로 해석. 빛 입자를 광자라 한다.

=> 광자의 증명 : 광전자 효과

- 광전자효과란? : 빛을 금속에 조사하면 표면에서 전자가 방출하고 이를 광전자라고 한다. 고전역학에 의하면 빛의 세기가 충분하면 (빛이 충분한 에너지를 금속에 전달하면), 금속의 일함수를 극복하고 광전자를 방출한다. 하지만, 일정 주파수 이하의 빛은 세기에 무관하게 광전자 방출이 없다. 

 즉, 빛은 연속된 에너지가 아니고, 특정 에너지를 가지는 입자(광자)의 집합이다. 입자(광자)의 에너지는 주파수에 비례하며(E = hv), 동일 주파수의 빛의 세기가 증가하면, 광자의 개수가 증가한다.

 

- 일함수는 물질에서 전자를 떼어내는 데 필요한 최소 에너지를 나타낸다. 광자의 에너지가 물질의 일함수보다 크면, 그 초과 에너지는 방출된 전자의 운동 에너지로 변환된다. 광자의 에너지는 전자를 물질 표면에서 떨어뜨리는 데 충분한 에너지를 가질 수 있다. 전자를 제거하는데 필요한 최소 에너지를 그 물질의 일함수(workfunction)라고 한다. 광자 에너지의 초과분은 광전자의 운동 에너지로 전환된다. 이에 따라 광전자의 최대 운동 에너지를 구해보면 아래와 같다.

 

 

- 이때 hv는 광전자효과가 일어나기 위한 광자의 최소 에너지, 즉 표면에서 전자를 떼어내기 위해 필요한 최소한의 에너지이자 빛이 조사되는 물질의 일함수(ф)이다.

2. 파동과 입자의 이중성 : 빛은 마치 입자처럼 행동함(광자), 물질(입자)도 마치 파동처럼 행동함(물질파)

>> 드 브로이의 가설 - 드 브로이는 빛이 입자처럼 행동하는 것을 관찰한 후, 입자도 파동처럼 행동할 수 있을 것이라는 가설을 바탕으로 물질의 파동성을 제안했다. '파동-입자 이중성 원리'는 물질과 빛 모두가 파동성과 입자성을 동시에 가지고 있음을 의미한다.

디 브로이 파장

*디 브로이 파장 : 물질을 파장으로 보았을 때의 파장 (h:플랑크 상수, p:운동량)

 

>> Davisson and Germer 실험 - 전자의 파동 특성 실험

 

- 가열 필라멘트에서 발생한 전자를 니켈 단결정에 가속시켜 전자의 파동성 실험을 진행했다.

- 전자는 니켈 단결정 원자에 의해 산란되었고, 그것을 측정한 결과 특정 각도에서 산란된 전자 밀도가 피크를 이루었음. 이때 피크는 전자 파동이 니켈 결정의 원자와 상호작용하면서 상호 간섭을 일으킴을 의미한다. 이때 생기는 피크 값 결과는 빛이 그물에서 산란되어 생기는 간섭 패턴과 유사하며 즉, 빛이 결정 구조를 통과할 때 발생하는 X선 회절 패턴과 비슷한 현상으로, 전자가 파동의 성질을 가지고 있다는 증거이다.

 

3. 하이젠베르그의 불확정성 원리 : 원자 이하 작은 입자의 거동은 절대적 정확성으로 설명이 불가능하다. 

입자의 위치와 운동량을 동시에 확정 불가능

에너지와 시간을 동시에 확정 불가능

- 전자의 위치는 정확히 특정할 수 없고, 위치에서 발견될 확률에 의해 정의된다. 수많은 전자가 존재할 경우, 확률적으로 전자의 개수를 거의 특정이 가능하다. >> 전자의 확률밀도 함수

 

- 슈뢰딩거 파동방정식과 확률밀도함수 -

 

- 슈뢰딩거의 파동방정식 : 양자화 원리와 파동 - 입자 이중성 원리를 결합해 탄생한 공식으로 결정에서 전자의 거동을 파동이론으로 표현 가능.

j : 허수 / ħ : 감소된 플랑크 상수 / ∂/∂t : 시간에 대한 편미분 / V : 전위 /  m : 입자의 질량 / ψ : 파동함수

- 파동함수의 물리적 의미 : '파동함수 크기의 제곱 (|ψ(x)|² ) = 확률밀도함수' 이고 이는 위치 x+dx에 전자가 존재할 확률이며 시간에 독립적이다.

시간독립 파동함수

- 즉, 시간독립 파동함수를 미분방정식을 통해 풀고 이를 통해 확률밀도함수를 구하여 전자의 거동을 파악할 수 있다. 

>> 파동함수 ψ를 찾는 것이 궁극적 목표이다.

 

- 파동함수의 경계조건 : 미분방정식을 풀기 위해 주어진 환경 및 조건

1. 확률밀도 함수의 전체공간적분은 항상 1이다. 즉 전자는 공간에 반드시 존재한다.

2. 주어진 환경조건 :

- 전위 V(x)와 입자 총에너지 E가 유한한 경우 (실제환경) : Ψ(x)와 ∂Ψ(x)/∂x모두 유한, 단일값, 연속

- 전위 V(x)가 특정 위치에서 무한한 경우 : Ψ(x)는 유한, 단일값, 연속이지만 ∂Ψ(x)/∂x는 유한, 단일값, 불연속

 

- 슈뢰딩거 파동방정식의 응용 -

 

1. 자유공간의 전자 : 자유공간의 전자는 모든 x에 대하여 V(x)=0 이다. 이 경우의 시간독립 파동방정식은 아래와 같다.

이 방정식에서 파동함수인 Ψ(x)를 구하면 아래와 같다. (A와 B는 경계조건에 의해 결정된다.)

위 식에서 파수(k)값을 정의한다.

정의된 파수 k값

파동방정식의 시간종속부분의 해는 다음과 같다.

따라서 자유공간 전자의 파동방정식의 총 해:

자유공간의 전자는 진행파이며 A의 첫항은 +x방향, B의 두번째 항은 -x방향 진행파이다. 위의 자유공간 전파 파동방정식에서 +x방향 진행파에 관한 항을 제곱하여 전자의 확률밀도함수를 구하면 아래와 같다.

즉, 확률밀도함수가 시간에 무관한 상수이고 이는 자유공간의 전자가 모든 위치에서 동일한 확률로 발견된다는 것을 의미한다.

파수 k를 다시 언급하면,

운동량(p)=2mE 이므로 k값을 다시 표현하여 드브로이 파장에 대입하면 아래와 같다.

파수의 정의로부터 입자의 총에너지가 결정되면 파장, 파수, 운동량이 결정됨을 알 수 있다.

 

2. 무한전위우물의 전자 : 특정 공간이 무한대의 전위로 둘러싸인 형태로 전자가 영역II에 갇힌 상황을 고려한다.

이 경우 영역I과 영역 III는 V(x)가 무한하고 E는 유한하므로 E-V(x)가 무한이고 파동방정식을 만족시키기 위해 Ψ(x)=0을 만족한다. 따라서 확률밀도함수가 0이므로, 전자는 영역I과 영역III에 존재할 수 없다. >>전자는 무한전위우물을 통과할 수 없다.

 

- 영역 II를 살펴보면 V(x)=0 이므로 시간독립 파동함수를 구하면 다음과 같다.

위 식의 해는 Ψ(x) = A1 cos(kx) + A2 sin(kx) 이며 경계조건에 의해

다음을 만족해야 하며 이를 만족하는 A1=0 이고, 전자가 영역II에 존재해야 하므로 A2는 0이 될 수 없다. 따라서 sin(ka)=0 을 만족하는 ka = nπ 이다 (n은 자연수). 확률밀도함수를 전구간에서 적분하면 1이라는 조건으로 A2를 구하면

최종 시간독립 파동함수는 다음과 같이 구할 수 있다. 

에너지가 양자화 상태임

>> 갇힌 전자의 총 에너지는 양자화된다. (전자의 E는 불연속이다)

(a)는 에너지 준위, (b)는 파동함숨, (c)는 확률함수를 나타내며 E가 커질수록 입자를 발견할 확률이 균일해짐을 확인할 수 있다. 결국 나중에는 띠처럼 보이게 된다. 

 

- 원자내 전자도 양성자가 만드는 전위우물에 갇혀 있어 이 전자의 에너지도 양자화 됨을 알 수 있다.

 

3. 계단전위함수 :

만약 V0가 무한이라면, 영역II의 확률밀도함수 = 0이고 영역I의 전자가 영역II로 침투하지 못하고 x=0에서 모두 반사한다.

만약 V0가 유한이라면, E>V0인 경우 전자가 영역I에서 V0를 넘어 영역II로 진행한다.

만약 V0가 유한이라면, E<V0인 경우 영역 I에서 II로 진행한 전자는 영역II로 일정 깊이 침투가 가능하지만 결국 모두 반사.

 

- 이와 같은 전위장벽이 있을 때:

만약 V0가 무한이라면, 영역II의 확률밀도함수 = 0이고 영역I의 전자가 영역II로 침투하지 못하고 x=0에서 모두 반사한다.

만약 V0가 유한이라면, E>V0인 경우 전자가 영역I에서 V0를 넘어 영역III로 진행한다.

만약 V0가 유한이라면, E<V0인 경우 영역II의 폭(a)이 침투 깊이보다 길면, 모든 전자가 영역II에서 반사.

만약 V0가 유한이라면, E<V0인 경우 영역II의 폭(a)이 침투 깊이보다 짧으면, 일부전자가 영역III으로 투과.(Tunnling)